यदि z = z(x) और (2 + cos x)frac{dz}{dx} + (si | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} + (\sin x)z = \sin x$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} = \sin x - (\sin x)z

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$\frac{7}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} + (\sin x)z = \sin x$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} = \sin x - (\sin x)z = -\sin x(z - 1)$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dz}{z - 1} = \frac{-\sin x}{2 + \cos x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dz}{z - 1} = \int \frac{-\sin x}{2 + \cos x} dx$. माना $u = 2 + \cos x$,तो $du = -\sin x dx$. अतः,$\ln|z - 1| = \ln|2 + \cos x| + C$. शर्त $z(\frac{\pi}{2}) = 3$ का उपयोग करने पर: $\ln|3 - 1| = \ln|2 + \cos(\frac{\pi}{2})| + C \implies \ln 2 = \ln 2 + C \implies C = 0$. इस प्रकार,$z - 1 = 2 + \cos x \implies z = 3 + \cos x$. अब,$z(\frac{\pi}{3})$ का मान: $z(\frac{\pi}{3}) = 3 + \cos(\frac{\pi}{3}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

यदि $z = z(x)$ और $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} + (\sin x)z = \sin x$,$z(x) > 0$ और $z(\frac{\pi}{2}) = 3$ है,तो $z(\frac{\pi}{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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