यदि (1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + d | vedclass

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Question

(B) दिया गया विस्तार: $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ है।माना $f(x) = (1 + x + x^2)^n = \sum_{r=0}^{2n} a_r x^r$ है।गुण

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$3^{n-1}$

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(B) दिया गया विस्तार: $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ है।माना $f(x) = (1 + x + x^2)^n = \sum_{r=0}^{2n} a_r x^r$ है।गुणांकों $a_0 + a_3 + a_6 + \dots$ का योग ज्ञात करने के लिए,हम इकाई के घनमूल के गुणधर्म का उपयोग करते हैं।माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।$x = 1, \omega, \omega^2$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:$f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2n}$$f(\omega) = (1 + \omega + \omega^2)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3 + a_4\omega + a_5\omega^2 + \dots$$f(\omega^2) = (1 + \omega^2 + \omega^4)^n = (1 + \omega^2 + \omega)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega + a_3 + a_4\omega^2 + a_5\omega + \dots$इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:$f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) = 3^n + 0 + 0 = 3(a_0 + a_3 + a_6 + \dots)$अतः,$a_0 + a_3 + a_6 + \dots = \frac{3^n}{3} = 3^{n-1}$।

यदि $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ है,तो $a_0 + a_3 + a_6 + \dots =$

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