frac{{^nC_0}}{1} + frac{{^nC_2}}{3} + frac{{^ | vedclass

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Question

(C) माना $S = \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \frac{{^nC_k}}{k+1}$.सर्वसमिका $\frac{{^nC_k}}{k+1} = \frac{1}{n+1} {^{n+1}C_{k+1}}$ का उपयोग करने पर:$S = \frac

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$\frac{{2^n}}{n+1}$

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(C) माना $S = \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \frac{{^nC_k}}{k+1}$.सर्वसमिका $\frac{{^nC_k}}{k+1} = \frac{1}{n+1} {^{n+1}C_{k+1}}$ का उपयोग करने पर:$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0, 2, 4, \dots} {^{n+1}C_{k+1}}$.माना $N = n+1$. तब $S = \frac{1}{N} \sum_{j=1, 3, 5, \dots} {^NC_j}$.विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग $2^{N-1}$ होता है।अतः,$S = \frac{1}{N} \cdot 2^{N-1} = \frac{{2^n}}{n+1}$.सत्यापन: $n=2$ के लिए,$S = \frac{{^2C_0}}{1} + \frac{{^2C_2}}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.विकल्प $(c)$ से $\frac{{2^2}}{2+1} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जो सही है।

$\frac{{^nC_0}}{1} + \frac{{^nC_2}}{3} + \frac{{^nC_4}}{5} + \frac{{^nC_6}}{7} + \dots = $

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यदि ${ }^{n} C_0+\frac{1}{2}{ }^{n} C_1+\frac{1}{3}{ }^{n} C_2+\ldots+\frac{1}{n+1}{ }^{n} C_{n}=\frac{1023}{10}$ है,तो $n=$

मान लीजिए कि $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ है। तो $\alpha$ का मान $............$ है।

$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

यदि $(\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$ है, तो $30a$ का मान ज्ञात कीजिए:

$^{15}C_0^2 - ^{15}C_1^2 + ^{15}C_2^2 - ... - ^{15}C_{15}^2$ का मान क्या है?

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