જો $\frac{\sqrt{3}}{a}x + \frac{1}{b}y = 2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શતું હોય,તો તેનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ કેટલો થાય? ................ $^o$

એક ઉપવલય બિંદુ $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{\frac{2}{5}}$ છે. તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ તેના મુખ્ય અક્ષની લંબાઈના $\frac{1}{3}$ ગણી છે. તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરના ચાર બિંદુઓ $(\pm 3 \cos \theta, \pm 2 \sin \theta)$ આગળ ચાર સ્પર્શકો દોરવામાં આવ્યા છે. જો $A(\theta)$ એ આ ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવતું હોય,તો $A(\theta)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કેટલું થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ ની જીવા,જેનું મધ્યબિંદુ $(3, 1)$ હોય,તેનું સમીકરણ શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથ કેવો હોય?