ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથ કેવો હોય?

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પર આવેલા બિંદુ $(2, \sqrt{3})$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ (eccentric angle) શોધો.

ધારો કે $x^2+y^2=20$ એ ઉપવલય $E$ નું નિયામક વર્તુળ છે,જેની મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ $Y$-અક્ષ છે. જો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $2$ હોય,તો તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

જો $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ પરનું કોઈ બિંદુ હોય અને $S, S^{\prime}$ તેના નાભિઓ હોય,તો $\Delta SPS^{\prime}$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) =

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો $\frac{e^4}{1-e^2}=$ (અહીં $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે)

વક્ર $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુ $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ દોરેલા સ્પર્શક અને અભિલંબ તથા $X$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.