यदि I = int frac{sin^2 x - 1}{2x sin^2 x + si | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I = \int \frac{\sin^2 x - 1}{2x \sin^2 x + \sin 2x} dx$. चूंकि $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,हमारे पास है

Vedclass · Accepted Answer

$ce^{2I} \sin x = x \sin x + \cos x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $I = \int \frac{\sin^2 x - 1}{2x \sin^2 x + \sin 2x} dx$. चूंकि $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,हमारे पास है: $I = \int \frac{-\cos^2 x}{2x \sin^2 x + 2 \sin x \cos x} dx = \int \frac{-\cos^2 x}{2 \sin x (x \sin x + \cos x)} dx$. अंश और हर को $\sin^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{-\cot^2 x}{2(x + \cot x)} dx$. माना $u = x + \cot x$,तब $du = (1 - \csc^2 x) dx = (1 - (1 + \cot^2 x)) dx = -\cot^2 x dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + c = \frac{1}{2} \ln|x + \cot x| + c$. अतः,$2I = \ln|x + \cot x| + 2c$. दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{2I} = e^{\ln|x + \cot x| + 2c} = |x + \cot x| e^{2c}$. माना $C = e^{2c}$,तो $Ce^{2I} = x + \cot x = x + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{x \sin x + \cos x}{\sin x}$. इसलिए,$Ce^{2I} \sin x = x \sin x + \cos x$.

यदि $I = \int \frac{\sin^2 x - 1}{2x \sin^2 x + \sin 2x} dx$ है,तो. . . . . $( \sin x \neq 0)$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

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निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए:
$\int \sin ^{3} x \cos ^{2} x \, dx$

यदि $\int \sqrt[3]{x}\left\{1+\sqrt[3]{x^4}\right\}^{1 / 7} d x=A\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^B+c$ है,तो $A B$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {2x - 1} }}} dx = f(x) \sqrt {2x - 1} + C$ है,जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x$ का मान क्या है?

$\int \cos ^3 x e^{\log (\sin x)^2} d x=$

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