यदि y(x) अवकल समीकरण y' + y = 2(sin x + cos x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y' + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 2(\sin x + \cos x)$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}

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$y(\pi) = e^{-\pi}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y' + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 2(\sin x + \cos x)$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot e^x = \int 2(\sin x + \cos x) e^x dx + C$.सर्वसमिका $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(x) = \sin x$ और $f'(x) = \cos x$ है,हमें प्राप्त होता है:$y \cdot e^x = 2 e^x \sin x + C$.$e^x$ से विभाजित करने पर,$y = 2 \sin x + C e^{-x}$ प्राप्त होता है।चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:$1 = 2 \sin(0) + C e^0 \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.अतः,विशिष्ट हल $y = 2 \sin x + e^{-x}$ है।अब,$x = \pi$ पर मान ज्ञात करने पर:$y(\pi) = 2 \sin(\pi) + e^{-\pi} = 2(0) + e^{-\pi} = e^{-\pi}$.

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $y' + y = 2(\sin x + \cos x)$ और $y(0) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो

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