જો $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $S$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ ને $(-1,-1)$ બિંદુએ સ્પર્શતું હોય,તો વર્તુળ $S$ ના કેન્દ્રમાંથી આપેલ વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ અને $y=x^{2}$ વક્રો પરના બિંદુઓ છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $P$ ના કયા અંતરાલના અભિસિસા (abscissa) ના મૂલ્ય માટે ન્યૂનતમ છે?

એક ગાયને દોરડા વડે થાંભલા સાથે બાંધેલી છે. ગાય દોરડાને હંમેશા ખેંચાયેલું રાખીને વર્તુળાકાર માર્ગે ફરે છે. જો તે કેન્દ્ર આગળ $72^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે ત્યારે $44 \ m$ જેટલું અંતર કાપે,તો દોરડાની લંબાઈ કેટલી હશે ($m$ માં)?

ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $18$ છે,જેમાં બાજુ $AB$ એ બાજુ $CD$ ને સમાંતર છે અને $AB = 2CD$ છે. ધારો કે $AD$ એ $AB$ અને $CD$ ને લંબ છે. જો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની અંદર એક વર્તુળ દોરવામાં આવે જે બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે,તો તેની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

જો એક વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=16$ એ $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા વર્તુળ $C_2$ ને એવી રીતે છેદે છે કે સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોય અને તેનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ હોય,તો વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર શું છે?

ધારો કે $C$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-x+2 y=\frac{11}{4}$ નું કેન્દ્ર છે અને $P$ એ વર્તુળ પરનું એક બિંદુ છે. એક રેખા બિંદુ $C$ માંથી પસાર થાય છે,જે રેખા $CP$ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને વર્તુળને બિંદુઓ $Q$ અને $R$ માં છેદે છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ (એકમ$^{2}$ માં) શોધો.