यदि एक यादृच्छिक चर X का p.d.f. f(x) = begin{ | vedclass

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Question

(B) प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) के लिए,वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए। अतः,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$. $f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ रखन

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$-9, 10$

Vedclass · Answer

(B) प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) के लिए,वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए। अतः,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$. $f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ रखने पर: $\int_{1}^{3} (\frac{ax^2}{2} + bx) dx = [\frac{ax^3}{6} + \frac{bx^2}{2}]_{1}^{3} = 1$. सीमाओं पर गणना करने पर: $(\frac{27a}{6} + \frac{9b}{2}) - (\frac{a}{6} + \frac{b}{2}) = 1$. $\frac{26a}{6} + \frac{8b}{2} = 1 \implies \frac{13a}{3} + 4b = 1 \implies 13a + 12b = 3$ (समीकरण $1$). दिया गया है कि $f(2) = 2$: $\frac{a(2)^2}{2} + b(2) = 2 \implies 2a + 2b = 2 \implies a + b = 1 \implies b = 1 - a$ (समीकरण $2$). समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $13a + 12(1 - a) = 3$. $13a + 12 - 12a = 3$. $a = 3 - 12 = -9$. $b = 1 - a$ का उपयोग करने पर: $b = 1 - (-9) = 10$. अतः,$a = -9$ और $b = 10$.

$X=x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$P(X)$	$0$	$k$	$2k$	$2k$	$3k$	$k^2$	$2k^2$	$7k^2 + k$

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