यदि 3 , cm त्रिज्या वाले एक गोले में अधिकतम आ | vedclass

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Question

(A) माना गोले की त्रिज्या $R = 3 \, cm$ है।माना शंकु की ऊँचाई $h$ और आधार की त्रिज्या $b$ है।गोले की ज्यामिति के अनुसार,$h, b,$ और $R$ के बीच संबंध $(

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$8\sqrt{3} \pi$

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(A) माना गोले की त्रिज्या $R = 3 \, cm$ है।माना शंकु की ऊँचाई $h$ और आधार की त्रिज्या $b$ है।गोले की ज्यामिति के अनुसार,$h, b,$ और $R$ के बीच संबंध $(h-R)^2 + b^2 = R^2$ है।अतः,$b^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$.शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi b^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$ है।आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2) = 0$ ज्ञात करते हैं।इससे $h(4R - 3h) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $h 
eq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3} = \frac{4(3)}{3} = 4 \, cm$ है।अब,$b^2 = 2(4)(3) - (4)^2 = 24 - 16 = 8$,इसलिए $b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, cm$.तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, cm$.वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi b l = \pi (2\sqrt{2}) (2\sqrt{6}) = 4\pi \sqrt{12} = 4\pi (2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \pi \, cm^2$ है।

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