$\sin x(1 + \cos x)$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?

दो धनात्मक संख्याएँ $x$ और $y$ इस प्रकार हैं कि $(x+y)=60$ और $x y^3$ अधिकतम है। तो वे संख्याएँ क्रमशः हैं:

फलन $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $ के अंतराल $[1, 2.4]$ में दो क्रांतिक बिंदु हैं। एक क्रांतिक बिंदु स्थानीय न्यूनतम है और दूसरा स्थानीय अधिकतम है। स्थानीय न्यूनतम $x =$ पर होता है।

वह बिंदु जहाँ फलन $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{t - 3}}} \left( {{t^2} + 2} \right)\left( {t - 3} \right){\left( {t + 4} \right)^2}dt$ का स्थानीय निम्नतम (local minimum) मान है,उनकी संख्या क्या है?

$20 \ m$ लंबाई के एक तार को दो टुकड़ों में काटा जाता है। $\ell_1$ लंबाई के टुकड़े को मोड़कर $A_1$ क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाया जाता है और $\ell_2$ लंबाई के दूसरे टुकड़े से $A_2$ क्षेत्रफल का एक वृत्त बनाया जाता है। यदि $2A_1 + 3A_2$ न्यूनतम है,तो $(\pi \ell_1) : \ell_2$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $x_0$,$f(x) = \overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c})$ का स्थानीय न्यूनतम बिंदु है,जहाँ $\overline{a} = x \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overline{b} = -2 \hat{i} + x \hat{j} - \hat{k}$,और $\overline{c} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ है। तो $x = x_0$ पर $\overline{a} \cdot \overline{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।