फलन S(x) = intlimits_0^x {sin left( {frac{{pi | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$S'(x) = \sin \left( {\frac

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$2$

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(C) दिया गया है $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$S'(x) = \sin \left( {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right)$.क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $S'(x) = 0$,इसलिए $\sin \left( {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right) = 0$.इसका अर्थ है $\frac{{\pi {x^2}}}{2} = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए,इसलिए $x^2 = 2n$.अंतराल $[1, 2.4]$ दिया गया है,इसलिए $1 \le x^2 \le 5.76$ है।$n=1$ के लिए,$x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414$.$n=2$ के लिए,$x^2 = 4 \implies x = 2$.अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $S''(x) = \cos \left( {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right) \cdot \pi x$.$x = \sqrt{2}$ पर,$S''(\sqrt{2}) = \cos(\pi) \cdot \pi \sqrt{2} = -\pi \sqrt{2} $x = 2$ पर,$S''(2) = \cos(2\pi) \cdot 2\pi = 2\pi > 0$,अतः $x = 2$ स्थानीय न्यूनतम है।इस प्रकार,स्थानीय न्यूनतम $x = 2$ पर होता है।

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