यदि एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक उसे परिगत वृत्त को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $PQ$ वृत्त का व्यास है।

(N/A) माना कि एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोणों $\angle A$ और $\angle C$ के समद्विभाजक वृत्त को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $PQ$ वृत्त का व्यास है।
$AQ$ और $DQ$ को मिलाइए।
चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं,इसलिए चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
माना $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ और $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$ है। अतः,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 2$ और $\angle 3$ एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण हैं जो जीवा $QD$ द्वारा अंतरित हैं,इसलिए $\angle 2 = \angle 3$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle PAQ = 90^{\circ}$ है।
चूंकि वृत्त की परिधि पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।