यदि धनात्मक पदों वाली एक G.P. (गुणोत्तर श्रेण | vedclass

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Question

(D) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद उसके पिछले दो पदों का योग है,अतः: $T_n = T_{n-1} + T_{n-2}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद उसके पिछले दो पदों का योग है,अतः: $T_n = T_{n-1} + T_{n-2}$.सामान्य पद के सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ का उपयोग करने पर: $ar^{n-1} = ar^{n-2} + ar^{n-3}$.दोनों पक्षों को $ar^{n-3}$ से विभाजित करने पर ($a > 0$ और $r > 0$ होने के कारण): $r^2 = r + 1$.इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $r^2 - r - 1 = 0$.द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि श्रेणी के पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ भी धनात्मक होना चाहिए। अतः,हम धनात्मक मान लेते हैं: $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

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