यदि क्षेत्र {(x, y): x^{2/3} + y^{2/3} leq 1, | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र एस्ट्रॉइड $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,रेखा $x + y = 0$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में घिरा हुआ है। दिया गया है क

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$36$

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(A) यह क्षेत्र एस्ट्रॉइड $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,रेखा $x + y = 0$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में घिरा हुआ है। दिया गया है कि $y \geq 0$ और $x+y \geq 0$,इसलिए क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश और द्वितीय चतुर्थांश के एक भाग में स्थित है। क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{0} (1 - (-x)^{2/3})^{3/2} dx + \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$. सममिति के कारण,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$. माना $x = \sin^3 	heta$,तो $dx = 3 \sin^2 	heta \cos 	heta d	heta$. $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 	heta)^{3/2} \cdot 3 \sin^2 	heta \cos 	heta d	heta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 	heta \cdot \sin^2 	heta \cos 	heta d	heta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 	heta \cos^4 	heta d	heta$. वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$. $A = 6 \cdot \frac{(1) \cdot (3 \cdot 1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{64}$. अतः,$\frac{256A}{\pi} = \frac{256}{\pi} \cdot \frac{9\pi}{64} = 4 \cdot 9 = 36$.

यदि क्षेत्र $\{(x, y): x^{2/3} + y^{2/3} \leq 1, x + y \geq 0, y \geq 0\}$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $\frac{256A}{\pi}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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