यदि x^2+y^2-2y-3=0 और x^2+y^2+4x+3=0 वृत्तों | vedclass

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Question

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-\alpha, \beta)$ है जो $(\alpha, \beta)$ दिया गया है,इसलिए $g=-\alpha$ और $f=-\beta$ है। व

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$-3$

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(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-\alpha, \beta)$ है जो $(\alpha, \beta)$ दिया गया है,इसलिए $g=-\alpha$ और $f=-\beta$ है। वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ वृत्त $x^2+y^2-2y-3=0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है। यहाँ $g_1=g, f_1=f, c_1=c$ और $g_2=0, f_2=-1, c_2=-3$ है। अतः,$2g(0) + 2f(-1) = c-3 \implies -2f = c-3 \implies c = 3-2f = 3+2\beta$। आगे,यह $x^2+y^2+4x+3=0$ को लंबकोणीय काटता है। यहाँ $g_3=2, f_3=0, c_3=3$ है। अतः,$2g(2) + 2f(0) = c+3 \implies 4g = c+3 \implies 4(-\alpha) = c+3 \implies c = -4\alpha-3$। $c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $3+2\beta = -4\alpha-3 \implies 4\alpha+2\beta = -6 \implies 2\alpha+\beta = -3$। चूंकि केंद्र $(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर स्थित है,हमारे पास $2\alpha-3\beta+4=0$ है। $2\alpha+\beta = -3$ से,हमें $2\alpha = -3-\beta$ प्राप्त होता है। इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-3-\beta)-3\beta+4=0 \implies -4\beta+1=0 \implies \beta=1/4$। तब $2\alpha = -3-1/4 = -13/4 \implies \alpha = -13/8$। अतः $2\alpha+\beta = -3$।

यदि $x^2+y^2-2y-3=0$ और $x^2+y^2+4x+3=0$ वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटने वाले वृत्त का केंद्र $(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर स्थित है,तो $2\alpha+\beta=$

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यदि वृत्तों $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ और $x^2+y^2+8x-4y+11=0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $k$ का मान है

यदि वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,तो

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वृत्त $x^2 + y^2 + 14x + 6y + 2 = 0$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है और जिसका केंद्र $(0, 2)$ है।

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए वृत्त $x^2 + y^2 + kx + 4y + 2 = 0$ और $2(x^2 + y^2) - 4x - 3y + k = 0$ एक-दूसरे को लंबकोणीय (orthogonally) काटते हैं।

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