यदि वृत्त $x^2+y^2=a^2$ अतिपरवलय $xy=b^2$ को चार बिंदुओं $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,$(x_3, y_3)$ और $(x_4, y_4)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $y_1 y_2 y_3 y_4 = $

मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$,जहाँ $a > b > 0$,$xy$-समतल में एक अतिपरवलय है जिसका संयुग्मी अक्ष $LM$ इसके एक शीर्ष $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। मान लीजिए त्रिभुज $LMN$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{3}$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P$. $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई है	$1$. $8$
$Q$. $H$ की उत्केंद्रता है	$2$. $\frac{4}{\sqrt{3}}$
$R$. $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है	$3$. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
$S$. $H$ के नाभिलंब की लंबाई है	$4$. $4$

सही विकल्प है:

निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण प्राचलिक रूप में अतिपरवलय (hyperbola) को निरूपित करता है,जहाँ $t$ एक प्राचल है?

एक अतिपरवलय (hyperbola) का अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) $x$-अक्ष के अनुदिश है और इसकी लंबाई $2a$ है। अतिपरवलय का शीर्ष (vertex), केंद्र और नाभि (focus) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करता है। अतिपरवलय का समीकरण है

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक नाभि $(\sqrt{10}, 0)$ पर है और संगत नियता $x = \frac{9}{\sqrt{10}}$ है। यदि $e$ और $l$ क्रमशः $H$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं,तो $9(e^2 + l)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि बिंदु $(4,6)$ से गुजरने वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता $2$ है,तो $(4,6)$ पर इस अतिपरवलय के स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?