मान लीजिए H : frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(A) संयुग्मी अक्ष के शीर्ष $L(0, b)$ और $M(0, -b)$ हैं। अतिपरवलय का शीर्ष $N(a, 0)$ है।संयुग्मी अक्ष की लंबाई $LM = 2b$ है।$	riangle LMN$ का क्षेत्रफ

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$P$ $\rightarrow 4; Q$ $\rightarrow 3; R$ $\rightarrow 1; S$ $\rightarrow 2$

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(A) संयुग्मी अक्ष के शीर्ष $L(0, b)$ और $M(0, -b)$ हैं। अतिपरवलय का शीर्ष $N(a, 0)$ है।संयुग्मी अक्ष की लंबाई $LM = 2b$ है।$	riangle LMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (2b) 	imes a = ab = 4\sqrt{3}$ है।चूँकि $\angle LNM = 60^{\circ}$ है,कोण $\angle LNO = 30^{\circ}$ है (जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।$	riangle LNO$ में,$	an 30^{\circ} = \frac{OL}{ON} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $a = b\sqrt{3}$ है।$a = b\sqrt{3}$ को $ab = 4\sqrt{3}$ में रखने पर,हमें $b(b\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$ प्राप्त होता है।अतः $a = 2\sqrt{3}$ है।$P$. संयुग्मी अक्ष की लंबाई $= 2b = 2(2) = 4$ है।$Q$. उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।$R$. नाभियों के बीच की दूरी $= 2ae = 2(2\sqrt{3})(\frac{2}{\sqrt{3}}) = 8$ है।$S$. नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।अतः,$P$ $ightarrow 4, Q$ $ightarrow 3, R$ $ightarrow 1, S$ $ightarrow 2$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P$. $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई है	$1$. $8$
$Q$. $H$ की उत्केंद्रता है	$2$. $\frac{4}{\sqrt{3}}$
$R$. $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है	$3$. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
$S$. $H$ के नाभिलंब की लंबाई है	$4$. $4$

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