यदि वृत्त x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0 और x^{2}+y^{2 | vedclass

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Question

(A) दिए गए वृत्त $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ और $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ हैं।यहाँ,$g_{1}=-1, f_{1}=-1, c_{1}=-7$ और $g_{2}=2, f_{

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$\frac{12}{\sqrt{13}}$

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(A) दिए गए वृत्त $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ और $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ हैं।यहाँ,$g_{1}=-1, f_{1}=-1, c_{1}=-7$ और $g_{2}=2, f_{2}=1, c_{2}=k$ है।चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,$2(g_{1}g_{2} + f_{1}f_{2}) = c_{1} + c_{2}$।$2((-1)(2) + (-1)(1)) = -7 + k$$2(-2 - 1) = -7 + k$$-6 = -7 + k \Rightarrow k = 1$।उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_{1} - S_{2} = 0$ है।$(x^{2}+y^{2}-2x-2y-7) - (x^{2}+y^{2}+4x+2y+1) = 0$$-6x - 4y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$।वृत्त $S_{1}$ के लिए,केंद्र $C_{1} = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} - (-7)} = \sqrt{9} = 3$ है।केंद्र $C_{1}(1, 1)$ से जीवा $3x + 2y + 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d$:$d = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$।उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_{1}^{2} - d^{2}}$ है।$= 2\sqrt{3^{2} - (\frac{9}{\sqrt{13}})^{2}} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117 - 81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$।

यदि वृत्त $x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ और $x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,तो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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