यदि वक्र $x^{2}+2 y^{2}=2$ रेखा $x + y =1$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है,तो रेखाखंड $PQ$ द्वारा मूल बिंदु पर अंतरित कोण ...... है।

एक दीर्घवृत्त $E$,अतिपरवलय $H$ और परवलय $P$ पर विचार करें,जहाँ प्रत्येक वक्र की नाभि $(2, 3)$ है और संगत नियता $x + y - 10 = 0$ है। यदि $(\alpha, \alpha_1)$,$(\beta, \beta_1)$,और $(\gamma, \gamma_1)$ क्रमशः दीर्घवृत्त,अतिपरवलय और परवलय के दी गई नियता के निकटतम शीर्ष हैं,तो:

एक वृत्त का केंद्र एक दीर्घवृत्त के केंद्र के समान है और यह दीर्घवृत्त की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे दोनों वक्र $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $P$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से कोई एक है। यदि दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $17$ है और त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है,तो नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ बिंदु $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ से होकर गुजरता है। एक परवलय खींचा गया है जिसकी नाभि $H$ की धनात्मक भुज वाली नाभि के समान है और परवलय की नियता $H$ की दूसरी नाभि से होकर गुजरती है। यदि परवलय के नाभिलंब की लंबाई $H$ के नाभिलंब की लंबाई की $e$ गुना है,जहाँ $e$ $H$ की उत्केंद्रता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु परवलय पर स्थित है?

$20$ इकाई लंबाई की एक छड़ अपने सिरों के साथ समकोण पर स्थित दो निश्चित सीधी रेखाओं पर चलती है। छड़ पर एक सिरे से $8$ इकाई की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ द्वारा बनाए गए शांकव की उत्केंद्रता क्या है?