यदि वक्र y^2 = 12x - 3 और y^2 = 12 - kx एक-दू | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $y^2 = 12x - 3$ और $y^2 = 12 - kx$ हैं। मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $y^2 = 12x - 3$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने

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$6$

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(B) दिए गए वक्र $y^2 = 12x - 3$ और $y^2 = 12 - kx$ हैं। मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $y^2 = 12x - 3$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = 12 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$। मान लीजिए $m_1 = \frac{6}{y_1}$। $y^2 = 12 - kx$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = -k \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{k}{2y}$। मान लीजिए $m_2 = -\frac{k}{2y_1}$। चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं, $m_1 m_2 = -1 \implies (\frac{6}{y_1})(-\frac{k}{2y_1}) = -1 \implies \frac{3k}{y_1^2} = 1 \implies y_1^2 = 3k$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ पर, $12x_1 - 3 = 12 - kx_1 \implies x_1(12 + k) = 15 \implies x_1 = \frac{15}{12+k}$। साथ ही $y_1^2 = 12 - kx_1 = 3k \implies 12 - k(\frac{15}{12+k}) = 3k \implies 12(12+k) - 15k = 3k(12+k) \implies 144 + 12k - 15k = 36k + 3k^2 \implies 3k^2 + 39k - 144 = 0 \implies k^2 + 13k - 48 = 0 \implies (k+16)(k-3) = 0$। चूंकि $k > 0$, इसलिए $k = 3$। वक्र $y^2 = 12 - 3x$ है। $x = 1$ पर, $y^2 = 12 - 3(1) = 9 \implies y = 3$ ($b=3$ लेने पर)। $(1, 3)$ पर ढाल $m = -\frac{3}{2(3)} = -\frac{1}{2}$ है। उप-स्पर्शक की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{3}{-1/2}| = 6$ है।

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