यदि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन (direction cosin | vedclass

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Question

(B) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:$l+m+n=0$ $\dots(i)$$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$समीकरण

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$\pi / 3$

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(B) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:$l+m+n=0$ $\dots(i)$$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$समीकरण $(i)$ से, $l+m = -n$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $l^2+m^2+2lm = n^2$, इसलिए $l^2+m^2 = n^2-2lm$.इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(n^2-2lm) - n^2 = 0$, जिसका अर्थ है $-2lm = 0$, इसलिए $l=0$ या $m=0$.स्थिति $1$: यदि $l=0$, तो $(i)$ से, $m+n=0 \implies m=-n$. $(iii)$ में रखने पर, $0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.अतः, दिक्-कोसाइन $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ और $(0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।स्थिति $2$: यदि $m=0$, तो $(i)$ से, $l+n=0 \implies l=-n$. $(iii)$ में रखने पर, $(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.अतः, दिक्-कोसाइन $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ और $(-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ हैं।उनके बीच के कोण $	heta$ का कोसाइन $\cos 	heta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2| = |0(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(0) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2})| = |1/2| = 1/2$.इसलिए, $	heta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

यदि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन (direction cosines) इस प्रकार हैं कि $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$, तो उनके बीच का कोण क्या है?

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उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक्-कोसाइन $(\ell, m, n)$ समीकरणों $\ell+m+n=0$ और $\ell^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करते हैं:

बिंदुओं $(-2, 4, -5)$ और $(1, 2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

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