यदि बिंदु P(1, -2, 1) की समतल x + 2y - 2z = a | vedclass

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Question

(D) बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ की समतल $Ax + By + Cz - D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा

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$\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(D) बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ की समतल $Ax + By + Cz - D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।दिए गए समतल $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ के लिए,$A=1, B=2, C=-2, D=\alpha$ है।मान रखने पर: $5 = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 - 2 - \alpha|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5 - \alpha|}{3}$.चूंकि $\alpha > 0$,इसलिए $|-5 - \alpha| = 5 + \alpha$ होगा। अतः,$5 = \frac{5 + \alpha}{3} \implies 15 = 5 + \alpha \implies \alpha = 10$.समतल का समीकरण $x + 2y - 2z = 10$ है।$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(1, 2, -2)$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-2} = k$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+1, 2k-2, -2k+1)$ के रूप में होगा।चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है: $(k+1) + 2(2k-2) - 2(-2k+1) = 10$.$k + 1 + 4k - 4 + 4k - 2 = 10 \implies 9k - 5 = 10 \implies 9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.$k = \frac{5}{3}$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर: $x = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$,$y = 2(\frac{5}{3}) - 2 = \frac{4}{3}$,$z = -2(\frac{5}{3}) + 1 = -\frac{7}{3}$.अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ हैं।

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मूल बिंदु से समतल $5y + 8 = 0$ पर खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $\bar{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$,समतल $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-2 \hat{j}-m \hat{k})=5$ के समांतर है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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