જો બિંદુ P(1, 2, a) નું રેખા L: frac{x-1}{1}= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, 2k, k+1)$ છે.ધારો કે $A$ એ $L_1$ અને $L$ નું છેદ

Vedclass · Accepted Answer

$7$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, 2k, k+1)$ છે.ધારો કે $A$ એ $L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે. $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{b} = \lambda$ માટે, $L_1$ પરનું બિંદુ $(3\lambda+1, 4\lambda+2, b\lambda+a)$ છે.$A$ એ $L$ પર હોવાથી, $\frac{3\lambda+1-1}{1} = \frac{4\lambda+2}{2} = \frac{b\lambda+a-1}{1}$.$\frac{3\lambda}{1} = \frac{4\lambda+2}{2}$ પરથી, $6\lambda = 4\lambda+2 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.તેથી $A = (3(1)+1, 4(1)+2, b(1)+a) = (4, 6, a+b)$.$A$ એ $L$ પર હોવાથી, $\frac{4-1}{1} = \frac{6}{2} = \frac{a+b-1}{1} \Rightarrow 3 = 3 = a+b-1 \Rightarrow a+b=4$.ધારો કે $B$ એ $L_2$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે. $L_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{c} = \mu$ માટે, $L_2$ પરનું બિંદુ $(\mu+1, 4\mu+2, c\mu+a)$ છે.$B$ એ $L$ પર હોવાથી, $\frac{\mu+1-1}{1} = \frac{4\mu+2}{2} = \frac{c\mu+a-1}{1}$.$\mu = \frac{4\mu+2}{2}$ પરથી, $2\mu = 4\mu+2 \Rightarrow -2\mu = 2 \Rightarrow \mu = -1$.તેથી $B = (-1+1, 4(-1)+2, c(-1)+a) = (0, -2, a-c)$.$B$ એ $L$ પર હોવાથી, $\frac{0-1}{1} = \frac{-2}{2} = \frac{a-c-1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = a-c-1 \Rightarrow a-c=0 \Rightarrow a=c$.આપેલ છે કે $PA = PB$, જ્યાં $P(1, 2, a)$, $A(4, 6, a+b)$, અને $B(0, -2, a-c)$.$PA^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (a+b-a)^2 = 3^2 + 4^2 + b^2 = 9+16+b^2 = 25+b^2$.$PB^2 = (0-1)^2 + (-2-2)^2 + (a-c-a)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-c)^2 = 1+16+c^2 = 17+c^2$.$PA=PB$ હોવાથી, $25+b^2 = 17+c^2 \Rightarrow c^2 - b^2 = 8$.$a=c$ અને $a+b=4$ હોવાથી, $c+b=4$. તેથી $c-b = \frac{c^2-b^2}{c+b} = \frac{8}{4} = 2$.$c+b=4$ અને $c-b=2$ ઉકેલતા, $2c=6 \Rightarrow c=3$ અને $b=1$.તેથી $a=c=3$. આમ, $a+b+c = 3+1+3 = 7$.

Similar Questions

રેખાઓ $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}$ અને $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ નું છેદબિંદુ શોધો.

બિંદુઓ $(3, 5, -7)$ અને $(-2, 1, 8)$ ને જોડતી રેખા $yz$-સમતલને જે બિંદુમાં છેદે છે તેના યામ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module