यदि निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय
$2x + y + z = 5$
$x - y + z = 3$
$x + y + az = b$
का कोई हल न हो,तो :

यदि रैखिक समीकरण निकाय $2x + 3y - z = -2$; $x + y + z = 4$; $x - y + |\lambda|z = 4\lambda - 4$ (जहाँ $\lambda \in R$) का कोई हल नहीं है,तो:

मान लीजिए $S$ सभी स्तंभ आव्यूहों $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ का समुच्चय है,जहाँ $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ और समीकरणों की प्रणाली (वास्तविक चरों में)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
का कम से कम एक हल है। तो,निम्नलिखित में से कौन सी प्रणाली (वास्तविक चरों में) प्रत्येक $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ के लिए कम से कम एक हल रखती है?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ और $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ और $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ और $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ और $x+4y-5z=b_3$

यदि समीकरण निकाय $x+y+2z=3$, $x+2y+3z=4$ और $x+y+cz=5$ असंगत है, तो:

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें: $ax + by + cz = 2$, $bx + cy + az = 2$, $cx + ay + bz = 2$, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a + b + c = 0$ है। तो, यह प्रणाली

एक क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $(1 + \alpha)x + \beta y + z = 2$; $\alpha x + (1 + \beta)y + z = 3$; $\alpha x + \beta y + 2z = 2$ का एक अद्वितीय हल है,वह है