यदि फलन f:(-infty,-1] rightarrow(a, b] जो f(x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = e^{x^3-3x+1}$ जहाँ $x \in (-\infty, -1]$ है।अवकलन करने पर: $f'(x) = e^{x^3-3x+1} \cdot (3x^2-3) = 3e^{x^3-3x+1}(x-1)(x+1)$.$x

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$2 \sqrt{1+e^6}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = e^{x^3-3x+1}$ जहाँ $x \in (-\infty, -1]$ है।अवकलन करने पर: $f'(x) = e^{x^3-3x+1} \cdot (3x^2-3) = 3e^{x^3-3x+1}(x-1)(x+1)$.$x \in (-\infty, -1]$ के लिए,$x+1 \leq 0$ और $x-1 अतः,$f'(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1]$ पर एक वर्धमान फलन है।चूँकि $f$ एकैकी और आच्छादक है,इसका परिसर $(a, b]$ है।$a = \lim_{x 	o -\infty} f(x) = e^{-\infty} = 0$.$b = f(-1) = e^{(-1)^3 - 3(-1) + 1} = e^{-1+3+1} = e^3$.इसलिए,$a=0$ और $b=e^3$.बिंदु $P$ है $(2b+4, a+2) = (2e^3+4, 0+2) = (2e^3+4, 2)$.बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax+By+C=0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।यहाँ,रेखा $x + e^{-3}y - 4 = 0$ है,इसलिए $A=1, B=e^{-3}, C=-4$.$d = \frac{|1(2e^3+4) + e^{-3}(2) - 4|}{\sqrt{1^2 + (e^{-3})^2}} = \frac{|2e^3+4+2e^{-3}-4|}{\sqrt{1+e^{-6}}} = \frac{2e^3+2e^{-3}}{\sqrt{1+e^{-6}}}$.$d = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\sqrt{\frac{e^6+1}{e^6}}} = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\frac{\sqrt{e^6+1}}{e^3}} = 2\sqrt{e^6+1}$.

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ का परिसर, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है	$I$. विषम फलन
$B$. $f(x)$ का प्रांत जहाँ $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$

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