यदि $f: R \rightarrow [-1, 1]$ और $g: R \rightarrow A$ दो आच्छादक (surjective) प्रतिचित्रण हैं और $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{f(x)}{2} \sqrt{4 - f^2(x)}$ है,तो $A =$

$f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है। अभिकथन $(A):$ कुछ $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$। कारण $(R):$ सभी $x \in R$ के लिए $0 < f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$। तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि $f:[0,2) \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} 1+\frac{2x}{k} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ kx & \text{for } 1 \leq x < 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $k>0$,और $f$ इस प्रकार है कि $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$,तो $k^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। $x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = [x] \sin(\pi x)$ है। तो,

समीकरण $2{e^{\left| x \right|}}{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = 1$ के हलों की संख्या है

मान लीजिए $f(x) = x^2, x \in R$ है। किसी भी $A \subseteq R$ के लिए,$g(A) = \{x \in R : f(x) \in A\}$ को परिभाषित करें। यदि $S = [0, 4]$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?