एक वास्तविक संख्या x के लिए,मान लीजिए [x] उस | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = [x] \sin(\pi x)$।$1$. अवकलनीयता: $f(x)$ एक स्टेप फंक्शन और त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है। यह सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$

Vedclass · Accepted Answer

प्रत्येक वास्तविक $\alpha$ के लिए,समीकरण $f(x) - \alpha = 0$ के अनंत मूल हैं।

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = [x] \sin(\pi x)$।$1$. अवकलनीयता: $f(x)$ एक स्टेप फंक्शन और त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है। यह सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ (सिवाय $n=0$) पर असतत है। चूंकि अवकलनीयता के लिए निरंतरता आवश्यक है,इसलिए $f(x)$,$\mathbb{R}$ पर अवकलनीय नहीं है।$2$. सममिति: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$। चूंकि $x 
otin \mathbb{Z}$ के लिए $[-x] = -[x] - 1$,इसलिए $f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) 
eq f(x)$। अतः,यह $x=0$ के सापेक्ष सममित नहीं है।$3$. समाकलन: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} ight]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} 
eq 0$।$4$. मूल: किसी भी $\alpha$ के लिए,फलन $f(x)$ उन मानों के बीच दोलन करता है जो $[x]$ द्वारा निर्धारित होते हैं। चूंकि $\sin(\pi x)$ आवर्ती है और $[x]$ पूर्णांक मान लेता है,इसलिए फलन $f(x)$ अनंत बार $\alpha$ मान प्राप्त करेगा। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

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