मान लीजिए f:[0,1] rightarrow mathbb{R} एक एकै | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक एकैकी और सतत फलन है जो $-1 < f(0) < f(1) < 1$ को संतुष्ट करता है। चूंकि $f$,$[0,1]$ पर सतत और ए

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अनंत

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(D) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक एकैकी और सतत फलन है जो $-1 चूंकि $f$,$[0,1]$ पर सतत और एकैकी है,इसलिए इसे सख्ती से वर्धमान (strictly increasing) होना चाहिए। $f$ का परिसर $[f(0), f(1)]$ है,जो $(-1, 1)$ का एक उपसमुच्चय है। हमें ऐसे फलनों $g:[-1,1] \rightarrow [0,1]$ को खोजना है ताकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ हो। इसका अर्थ है कि किसी भी $y \in [f(0), f(1)]$ के लिए,$g(y) = f^{-1}(y)$ होगा। हालाँकि,$y \in [-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ के लिए,फलन $g(y)$ का मान $[0, 1]$ में कुछ भी हो सकता है क्योंकि इन मानों के लिए $g$ पर कोई प्रतिबंध नहीं है। चूंकि समुच्चय $[-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ रिक्त नहीं है और इसमें अनंत बिंदु हैं,इसलिए हम इस समुच्चय के लिए $g(y)$ को अनंत तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं। अतः,ऐसे अनंत फलन $g$ मौजूद हैं।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $G \times G$ से $G$ तक के गैर-बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$I$. $24$
$B$. $A$ से $A$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$II$. $0$
$C$. $G$ से $G \times A$ तक के फलनों की संख्या	$III$. $1728$
$D$. $A$ से $A \times A$ तक के आच्छादक (surjective) फलनों की संख्या	$IV$. $12$
	$V$. $19683$

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