यदि फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$,जहाँ $a > 0$,अपने स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान क्रमशः $p$ और $q$ पर प्राप्त करता है,इस प्रकार कि $p^2=q$,तो $f(3)$ का मान क्या है?

यदि $x_0$,$f(x) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ का स्थानीय न्यूनतम बिंदु है,जहाँ $\bar{a} = x \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\bar{b} = -2 \hat{i} + x \hat{j} - \hat{k}$,$\bar{c} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ है,तो $x = x_0$ पर $\bar{a} \cdot \bar{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ होता है।

फलन $f(x) = \sin^p x \cos^q x$ का उच्चिष्ठ (maximum) बिंदु है:

$g(x) = x^{3} + 1$ द्वारा दिए गए फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \log_{10}(4x^3 - 12x^2 + 11x - 3)$,$x \in [2, 3]$ का वैश्विक अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।