यदि फलन f जो left(frac{pi}{6}, frac{pi}{3}rig | vedclass

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Question

(A) चूंकि $f(x)$,$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर सतत है,इसलिए यह $x=\frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होना चाहिए।अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right

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$\frac{1}{2}$

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(A) चूंकि $f(x)$,$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर सतत है,इसलिए यह $x=\frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होना चाहिए।अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$.यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$k = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$.$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:$k = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})}{\operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

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