यदि फलन f(x) = sin x - cos^2 x अंतराल [-pi, p | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos^2 x = \sin x - (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \sin x - 1$. माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $t \i

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$(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos^2 x = \sin x - (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \sin x - 1$. माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $t \in [-1, 1]$. तब $g(t) = t^2 + t - 1$. $f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए। $f'(x) = \cos x + 2 \cos x \sin x = \cos x(1 + 2 \sin x)$. $f'(x) > 0$ के लिए: स्थिति $1$: $\cos x > 0$ और $1 + 2 \sin x > 0$. $\cos x > 0 \implies x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. $1 + 2 \sin x > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2} \implies x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$. सर्वनिष्ठ: $x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$. स्थिति $2$: $\cos x $\cos x $1 + 2 \sin x सर्वनिष्ठ: $x \in (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2})$. दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ में निरंतर वर्धमान है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

यदि फलन $f(x) = \sin x - \cos^2 x$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर परिभाषित है,तो $f$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?

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