यदि फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$ अंतराल $[1, 3]$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $f(0)=0$ और सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है। तो $f(1)$ किसमें स्थित है?

यदि $c$ एक ऐसा बिंदु है जिस पर अंतराल $[3, 4]$ में फलन $f(x) = \log_{e}\left(\frac{x^{2}+\alpha}{7x}\right)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है,जहाँ $\alpha \in R$,तो $f''(c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,निम्नलिखित में से कौन सा फलन अंतराल $[0, 1]$ पर शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है?

दिया गया है $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,और $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. तो,अंतराल $[0, 1]$ में लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किसके लिए लागू $\text{नहीं}$ होता है?

किस वास्तविक संख्या $K$ के लिए समीकरण $2x^3 + 3x + K = 0$ के दो वास्तविक मूल अंतराल $[0, 1]$ में होंगे?