જો આપેલા સદિશો $(-bc, b^2 + bc, c^2 + bc)$,$(a^2 + ac, -ac, c^2 + ac)$ અને $(a^2 + ab, b^2 + ab, -ab)$ સમતલીય હોય,જ્યાં $a, b$ અને $c$ માંથી કોઈ પણ શૂન્ય નથી,તો:

એક સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ,જેની ધાર $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે,તે $1$ ઘન એકમ છે. જો $\theta$ એ $\bar{u}$ અને $\bar{w}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શોધો:

જો સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ આપેલા હોય,તો $a$ ની એવી કિંમત શોધો જેના માટે આ ત્રણ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતર ષટફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય.

જો $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ અને $\bar{c}+\bar{a}$ એ સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) ની ધાર હોય,તો તેનું ઘનફળ $ . . . . . . $ થાય.

ધારો કે $S$ એ તમામ $(\lambda, \mu)$ નો ગણ છે જેના માટે સદિશો $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ અને $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,જ્યાં $\lambda - \mu = 5$,સમતલીય છે,તો $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ ની કિંમત શોધો:

જો $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$ અને $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ એ $3$-પરિમાણીય અવકાશમાં સદિશો હોય,તો $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?