यदि किसी वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्शर | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sin^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\fra

Vedclass · Accepted Answer

$y = x \cot^{-1}(\log_e ex)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sin^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin^2 v$।इसे सरल करने पर $x \frac{dv}{dx} = -\sin^2 v$,या $-\csc^2 v \, dv = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \csc^2 v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।इससे $\cot v = \log_e x + C$,अर्थात $\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + C$ प्राप्त होता है।वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरता है,इसलिए $\cot\left( \frac{\pi/4}{1} \right) = \log_e 1 + C$।चूंकि $\cot(\pi/4) = 1$ और $\log_e 1 = 0$,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$।इसलिए,$\frac{y}{x} = \cot^{-1}(\log_e ex)$,जिसका अर्थ है $y = x \cot^{-1}(\log_e ex)$।

Similar Questions

अवकल समीकरण $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ का विशिष्ट हल,जब $y(1) = 0$ है,क्या होगा?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x+y+1}{x-3y+5} = 0$ का व्यापक हल है

समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$ का हल है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module