यदि समीकरण left(frac{sqrt{3}+i}{sqrt{3}-i}rig | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ का सरलीकरण करें। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+

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$\sqrt{13}$

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(C) सबसे पहले,$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ का सरलीकरण करें। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$ प्राप्त होता है।दिया गया है $(e^{i\pi/3})^n = -1 = e^{i\pi}$,इसलिए $n\pi/3 = \pi + 2k\pi$। न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$n/3 = 1 \implies n = 3$। अतः,$p = 3$।अब,$\frac{1-\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}$ को सरल करें। $1-\sqrt{3}i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(1-\sqrt{3}i)^2}{1+3} = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i4\pi/3}$ प्राप्त होता है।दिया गया है $(e^{i4\pi/3})^m = \operatorname{cis}(2\pi/3) = e^{i2\pi/3}$,इसलिए $4m\pi/3 = 2\pi/3 + 2k\pi$। $2\pi/3$ से भाग देने पर,$2m = 1 + 3k$ मिलता है। $k=1$ के लिए,$2m = 4 \implies m = 2$। अतः,$q = 2$।अंत में,$\sqrt{p^2+q^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$।

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