यदि आव्यूह A = begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.हम $A = 2I + B$ लिख सकते हैं, जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0

Vedclass · Accepted Answer

$a = 2^n, b = n 2^n$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.हम $A = 2I + B$ लिख सकते हैं, जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.ध्यान दें कि $B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.चूँकि $2I$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं, द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:$A^n = (2I + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} B^k = \binom{n}{0} (2I)^n + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B + 0 + ...$$A^n = 2^n I + n(2^{n-1}) B = 2^n \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + n 2^{n-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \ 0 & 2^n & 0 \ 0 & 0 & 2^n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ n 2^n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \ 0 & 2^n & 0 \ n 2^n & 0 & 2^n \end{bmatrix}$.दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर, हमें $a = 2^n$ और $b = n 2^n$ प्राप्त होता है।

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है, तो $n \in N$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{bmatrix}$ है, जहाँ:

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