यदि अतिपरवलय $xy=16$ पर बिंदु $(8,2)$ पर खींचा गया अभिलंब अतिपरवलय को पुनः बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर मिलता है,तो $|\beta|+\frac{1}{|\alpha|}=$

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित किसी बिंदु से इसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $6$ है और उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ है,तो अतिपरवलय के अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $x^2 - 3y^2 = 1$ के संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब,अतिपरवलय के केंद्र पर $\frac{\pi}{3}$ का कोण अंतरित करता है। यदि $b^2 = \frac{l}{m}(1+\sqrt{n})$ है,जहाँ $l$ और $m$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $l^2+m^2+n^2$ का मान . . . . . . है।

एक अतिपरवलय में,यदि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई संयुग्मी अक्ष की लंबाई की दोगुनी है,तो इसकी नियताओं के बीच की दूरी ..... इकाई है।

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a > 1$ और $b < a$ है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु है जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है। मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरती है,और मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय का अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड काटता है। मान लीजिए $\Delta$ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जो $P$ पर स्पर्श रेखा,$P$ पर अभिलंब और $x$-अक्ष द्वारा बनता है। यदि $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$