यदि वक्र y(x) = int_0^x (2t^2 - 15t + 10) dt | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $y(x) = \int_0^x (2t^2 - 15t + 10) dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,अवकलज $y'(x) = 2x^2 - 15x + 10$ है।बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श र

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$406$

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(B) दिया गया वक्र $y(x) = \int_0^x (2t^2 - 15t + 10) dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,अवकलज $y'(x) = 2x^2 - 15x + 10$ है।बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = y'(a) = 2a^2 - 15a + 10$ है।अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{y'(a)} = -\frac{1}{2a^2 - 15a + 10}$ है।दी गई रेखा $x + 3y = -5$ है,जिसे $y = -\frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_L = -\frac{1}{3}$ है।चूँकि अभिलंब रेखा के समांतर है,$m_N = m_L$,इसलिए $-\frac{1}{2a^2 - 15a + 10} = -\frac{1}{3}$।इसका अर्थ है $2a^2 - 15a + 10 = 3$,अतः $2a^2 - 15a + 7 = 0$।गुणनखंड करने पर: $(2a - 1)(a - 7) = 0$। चूँकि $a > 1$,इसलिए $a = 7$ है।अब,$b = y(a) = \int_0^7 (2t^2 - 15t + 10) dt = [\frac{2}{3}t^3 - \frac{15}{2}t^2 + 10t]_0^7$।$b = \frac{2}{3}(343) - \frac{15}{2}(49) + 10(7) = \frac{686}{3} - \frac{735}{2} + 70 = \frac{1372 - 2205 + 420}{6} = -\frac{413}{6}$।हमें $|a + 6b| = |7 + 6(-\frac{413}{6})| = |7 - 413| = |-406| = 406$ प्राप्त होता है।

यदि वक्र $y(x) = \int_0^x (2t^2 - 15t + 10) dt$ का बिंदु $(a, b)$ पर अभिलंब,रेखा $x + 3y = -5$ के समांतर है,जहाँ $a > 1$,तो $|a + 6b|$ का मान ........... है।

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