यदि दीर्घवृत्त 3x^2 + 4y^2 = 12 पर स्थित एक ब | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।मान

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$\frac{5\sqrt{5}}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।माना बिंदु $P$ $(2\cos 	heta, \sqrt{3}\sin 	heta)$ है।$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है,जो $2x\sec 	heta - \sqrt{3}y\csc 	heta = 1$ में सरल होता है।इस अभिलंब की ढाल $\frac{2}{\sqrt{3}}	an 	heta$ है।चूँकि अभिलंब रेखा $2x + y = 4$ के समांतर है,इसकी ढाल $-2$ है। अतः,$\frac{2}{\sqrt{3}}	an 	heta = -2$,जिससे $	an 	heta = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।$	an 	heta = -\sqrt{3}$ के लिए,$\cos 	heta = \pm \frac{1}{2}$ और $\sin 	heta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x\cos 	heta + \frac{2y\sin 	heta}{\sqrt{3}} = 2$ है।चूँकि स्पर्श रेखा $Q(4, 4)$ से गुजरती है,हमें $4\cos 	heta + \frac{8\sin 	heta}{\sqrt{3}} = 2$ प्राप्त होता है।$\sin 	heta = -\sqrt{3}\cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos 	heta = -\frac{1}{2}$ और $\sin 	heta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ मिलता है।अतः,$P = (-1, 3/2)$ है।$PQ = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 3/2)^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$।

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