यदि परवलय y^2=12x पर बिंदुओं P और Q की कोटिया | vedclass

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Question

(A) दिए गए परवलय $y^2=12x$ के लिए,$4a=12$,अतः $a=3$ है। मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के प्राचल (parameters) क्रमशः $t_1$ और $t_2$ हैं। कोटियाँ $y_1=2a

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$y+18\left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}=0$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए परवलय $y^2=12x$ के लिए,$4a=12$,अतः $a=3$ है। मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के प्राचल (parameters) क्रमशः $t_1$ और $t_2$ हैं। कोटियाँ $y_1=2at_1$ और $y_2=2at_2$ हैं। $y_1:y_2=1:2$ दिया गया है,इसलिए $t_1:t_2=1:2$,जिससे $t_2=2t_1$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $t_1=t$,तो $t_2=2t$ है।$t_1$ और $t_2$ पर अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक:$x = 2a + a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2) = 6 + 21t^2$$y = -at_1t_2(t_1+t_2) = -18t^3$$x=6+21t^2$ से,$t^2 = \frac{x-6}{21}$ प्राप्त होता है,अतः $t = \left(\frac{x-6}{21}\right)^{1/2}$ है।$y=-18t^3$ में $t$ का मान रखने पर,$y = -18 \left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}$,अर्थात $y+18\left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}=0$ प्राप्त होता है।

$A. \ 2x-5=0$	$I. \ \text{शीर्ष (Vertex)}$
$B. \ (\frac{3}{2}, -1)$	$II. \ \text{नाभि (Focus)}$
$C. \ y+1=0$	$III. \ \text{नियता का समीकरण (Equation of directrix)}$
$D. \ (2, -1)$	$IV. \ \text{अक्ष का समीकरण (Equation of the axis)}$
	$V. \ \text{नाभिलंब का समीकरण (Equation of the Latus rectum)}$

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