यदि मूल बिंदु $O(0,0,0)$ और बिंदु $P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ तथा $R(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो:

यदि $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = \lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिशों $\vec{x}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{y}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{z}=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ पर विचार करें। दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$\vec{X}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}-\vec{z}$,$\vec{Y}=\alpha\vec{y}+\beta\vec{z}-\vec{x}$,और $\vec{Z}=\alpha\vec{z}+\beta\vec{x}-\vec{y}$ को परिभाषित करें। यदि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}$,और $\vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,तो $\alpha+\beta-3$ का मान $....$ है।

माना $\vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{CB} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ समांतर चतुर्भुज $OBDC$ के विकर्ण हैं। यदि $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ एक अन्य सदिश है, तो सदिशों $\vec{OA}, \vec{OB}$, और $\vec{OC}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन (घन इकाइयों में) है:

मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ त्रिविमीय अंतरिक्ष में सदिश हैं,जहाँ $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$ इकाई सदिश हैं जो एक-दूसरे के लंबवत नहीं हैं और $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ है। यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निरूपित हैं,$\sqrt{2}$ है,तो $|3\vec{u}+5\vec{v}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec p$ और $\vec q$ इकाई सदिश हैं,इस प्रकार कि $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,तो $\vec p$ और $\vec q$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।