यदि एक बाहरी बिंदु P(h, k) से अतिपरवलय frac{x | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है। बिंदु $(h, k)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - k = m(x - h)$ है।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^

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$y^2+b^2=k^2\left(x^2-a^2\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है। बिंदु $(h, k)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - k = m(x - h)$ है।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है,जहाँ $c = k - mh$ है।अतः,$(k - mh)^2 = a^2m^2 - b^2$ है।इसे $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में लिखने पर: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 + b^2) = 0$ प्राप्त होता है।स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2}$ है।दिया गया है कि $m_1m_2 = k^2$,इसलिए $\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = k^2$ है।$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $y^2 + b^2 = k^2(x^2 - a^2)$ प्राप्त होता है।

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