यदि द्विघात समीकरण x^2 + (2 - tan theta)x - ( | vedclass

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Question

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + (2 - 	an 	heta)x - (1 + 	an 	heta) = 0$ के पूर्णांक मूल हैं।मूलों के गुणों से,हमारे पास है:$\al

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$4$

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(C) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + (2 - 	an 	heta)x - (1 + 	an 	heta) = 0$ के पूर्णांक मूल हैं।मूलों के गुणों से,हमारे पास है:$\alpha + \beta = 	an 	heta - 2$  $(1)$$\alpha \beta = -	an 	heta - 1$  $(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:$\alpha + \beta + \alpha \beta = -3$गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = -3 + 1$$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$चूंकि $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,$(\alpha + 1)$ और $(\beta + 1)$ को $-2$ का पूर्णांक गुणनखंड होना चाहिए। $(\alpha + 1, \beta + 1)$ के लिए संभावित जोड़े $(-1, 2), (2, -1), (1, -2), (-2, 1)$ हैं।स्थिति $1$: $\alpha + 1 = -1$ और $\beta + 1 = 2 \Rightarrow \alpha = -2, \beta = 1$. अतः $	an 	heta = \alpha + \beta + 2 = -2 + 1 + 2 = 1$.स्थिति $2$: $\alpha + 1 = 1$ और $\beta + 1 = -2 \Rightarrow \alpha = 0, \beta = -3$. अतः $	an 	heta = \alpha + \beta + 2 = 0 - 3 + 2 = -1$.$(0, 2\pi)$ में $	an 	heta = 1$ के लिए,$	heta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.$(0, 2\pi)$ में $	an 	heta = -1$ के लिए,$	heta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.$	heta$ के सभी संभावित मानों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ है।अतः,$k = 4$।

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