यदि एक यादृच्छिक चर X का परिसर {0, 1, 2, 3, 4 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$ है।हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का यो

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$\frac{4}{9}$

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(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$ है।हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है, अर्थात $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$।माना $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty ight) = 1$।माना $S = a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots ight)$।दोनों पक्षों को $\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर, $\frac{1}{3}S = a \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots ight)$।दोनों समीकरणों को घटाने पर:$S - \frac{1}{3}S = a \left( 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{9} - \frac{2}{9}) + (\frac{4}{27} - \frac{3}{27}) + \ldots ight)$$\frac{2}{3}S = a \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots ight)$।कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$।अतः, $\frac{2}{3}S = a \left( \frac{3}{2} ight) = \frac{3a}{2}$।इस प्रकार, $S = \frac{3a}{2} 	imes \frac{3}{2} = \frac{9a}{4}$।चूंकि $S = 1$, इसलिए $\frac{9a}{4} = 1$, जिसका अर्थ है कि $a = \frac{4}{9}$।

यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का परिसर $\{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$ है और $k \geq 0$ के लिए $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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