यदि समुच्चय {operatorname{Re}left(frac{z-bar{ | vedclass

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Question

(D) माना $z = 3 + iy$,तो $\bar{z} = 3 - iy$.व्यंजक में $z$ और $\bar{z}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:$z - \bar{z} + z\bar{z} = (3 + iy) - (3 - iy) + (3

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$30$

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(D) माना $z = 3 + iy$,तो $\bar{z} = 3 - iy$.व्यंजक में $z$ और $\bar{z}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:$z - \bar{z} + z\bar{z} = (3 + iy) - (3 - iy) + (3 + iy)(3 - iy) = 2iy + (9 + y^2)$.हर: $2 - 3(3 + iy) + 5(3 - iy) = 2 - 9 - 3iy + 15 - 5iy = 8 - 8iy = 8(1 - iy)$.माना $w = \frac{9 + y^2 + 2iy}{8(1 - iy)}$.$\operatorname{Re}(w)$ ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को $(1 + iy)$ से गुणा करने पर:$w = \frac{(9 + y^2 + 2iy)(1 + iy)}{8(1 - iy)(1 + iy)} = \frac{9 + y^2 + i(9y + y^3) + 2iy - 2y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{9 - y^2 + i(11y + y^3)}{8(1 + y^2)}$.$\operatorname{Re}(w) = \frac{9 - y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{1}{8} \left( \frac{10 - (1 + y^2)}{1 + y^2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{10}{1 + y^2} - 1 \right)$.चूंकि $1 + y^2 \in [1, \infty)$,इसलिए $\frac{1}{1 + y^2} \in (0, 1]$.अतः,$\frac{10}{1 + y^2} \in (0, 10]$,और $\frac{10}{1 + y^2} - 1 \in (-1, 9]$.इसलिए,$\operatorname{Re}(w) \in \left( -\frac{1}{8}, \frac{9}{8} \right]$.यहाँ $\alpha = -\frac{1}{8}$ और $\beta = \frac{9}{8}$.$24(\beta - \alpha) = 24 \left( \frac{9}{8} - (-\frac{1}{8}) \right) = 24 \left( \frac{10}{8} \right) = 30$.

यदि समुच्चय $\{\operatorname{Re}\left(\frac{z-\bar{z}+z \bar{z}}{2-3 z+5 \bar{z}}\right): z \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(z)=3\}$ अंतराल $(\alpha, \beta]$ के बराबर है,तो $24(\beta-\alpha)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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