यदि समीकरण log _{cos x} cot x+4 log _{sin x} | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} 	an x=1$माना $a = \ln \sin x$ और $b = \ln \cos x$ है। समीकरण $\frac{b-a}{b} + 4\frac{a-b

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$4$

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(D) दिया गया समीकरण: $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} 	an x=1$माना $a = \ln \sin x$ और $b = \ln \cos x$ है। समीकरण $\frac{b-a}{b} + 4\frac{a-b}{a} = 1$ बन जाता है।इसे सरल करने पर $t + \frac{4}{t} = 4$ प्राप्त होता है,जहाँ $t = \frac{a}{b}$ है।अतः $(t-2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$ है।इससे $\ln \sin x = 2 \ln \cos x \Rightarrow \sin x = \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्राप्त होता है।$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।तुलना करने पर $\alpha = -1$ और $\beta = 5$ प्राप्त होते हैं।अतः,$\alpha + \beta = -1 + 5 = 4$।

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