જો પરવલય $y^2=3x$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $x+2y=1$ ને સમાંતર હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ પરના બિંદુઓ $Q$ અને $R$ આગળના સ્પર્શકો રેખા $x-y=2$ ને લંબ હોય,તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો:

જો $p$ અને $q$ એ અનુક્રમે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને તેના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1$ અને રેખાઓની જોડી $x^2-y^2=0$ ના છેદબિંદુઓ દ્વારા બનતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

પરવલય $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ અને ઉપવલય $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ હોય,તો $m_1^2 + m_2^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.

એવા બિંદુનો બિંદુપથ શોધો જે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનું $(0, 0)$ બિંદુથી અંતર તેના $y$-અક્ષથી અંતર કરતાં બમણું હોય.

વક્રો $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ અને $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક $T$ ચોથા ચરણમાંથી પસાર થતો નથી. જો $T$ એ $C_{1}$ ને $(x_{1}, y_{1})$ બિંદુએ અને $C_{2}$ ને $(x_{2}, y_{2})$ બિંદુએ સ્પર્શતો હોય,તો $|2x_{1} + x_{2}|$ ની કિંમત $......$ થાય.