यदि परवलय $y^2=3x$ पर एक बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=1$ के समानांतर है और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ पर बिंदुओं $Q$ और $R$ पर स्पर्शरेखाएं रेखा $x-y=2$ के लंबवत हैं,तो त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल है:

वक्रों $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $P(t^2, 2t)$ पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है,जहाँ भुज $t^2$ अंतराल $[1, 4]$ में स्थित है। बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा,बिंदु $P$ की कोटि (ordinate) और $x$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज का अधिकतम संभावित क्षेत्रफल है

यदि $e$ और $e'$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee' = $

यदि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$ के लिए,बिंदु $(x, y) = \left(3 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), 2 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ समीकरण $xy+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ पर स्थित हैं,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक वृत्त का केंद्र एक दीर्घवृत्त के केंद्र के समान है और यह दीर्घवृत्त की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे दोनों वक्र $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $P$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से कोई एक है। यदि दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $17$ है और त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है,तो नाभियों के बीच की दूरी क्या है?