यदि समाकलन int_{0}^{1/2} frac{x^{2}}{(1-x^{2} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. हम अंश को $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \int_{0}^{1/2} \fr

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$2\sqrt{3}-\pi$

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(A) माना $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. हम अंश को $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. $I = -\int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{1/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. प्रथम समाकलन के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(x)$. $0$ से $1/2$ तक मान रखने पर,हमें $-[\sin^{-1}(1/2) - \sin^{-1}(0)] = -\pi/6$ प्राप्त होता है। दूसरे समाकलन के लिए,$x = \sin(	heta)$ लें,तो $dx = \cos(	heta) d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=1/2, 	heta=\pi/6$. $\int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos(	heta)}{\cos^{3}(	heta)} d	heta = \int_{0}^{\pi/6} \sec^{2}(	heta) d	heta = [	an(	heta)]_{0}^{\pi/6} = 	an(\pi/6) - 	an(0) = 1/\sqrt{3}$. इस प्रकार,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{6}$. इसकी तुलना $\frac{k}{6}$ से करने पर,हमें $k = 2\sqrt{3}-\pi$ प्राप्त होता है।

यदि समाकलन $\int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$ का मान $\frac{k}{6}$ है,तो $k$ का मान क्या होगा?

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यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 k \sec \theta}} d \theta = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$,$(k > 0)$,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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